Inductancia Mutua

Inductancia Mutua

La inductancia mutua, es la inductancia que se da entre una bobina y otra cercana. El voltaje que varia en la primer bobina produce un voltaje en las terminales de la segunda. Recordemos que el flujo magnético es producido por una corriente eléctrica en un inductor. Además que dicho flujo magnético, produce el voltaje proporcional en un inductor.

Primeramente, revisemos el caso de la inductancia mutua para un caso donde la segunda bobina se encuentra en circuito abierto. De esta manera, evitamos un análisis más complejo por el momento.

Inductancia mutua

Figura 1: Inductancia mutua entre dos inductores. El voltaje en la terminal abierta esta definido como la inductancia mutua por la derivada de la corriente de la primera malla.

    \[ v_2(t)=M\frac{di_1(t)}{dt} \]

Polaridad de voltaje de salida

Existe una convención de uso para determinar el signo de salida del voltaje al considerar la inductancia mutua. Esto se debe básicamente a como este construido el sistema. Sin embargo, consideramos que si la corriente entra por la terminal con punto, produce una diferencia de potencial a la salida positiva respecto al punto. Dicho de una manera más practica, podemos asumir en el siguiente diagrama que si los puntos están en la misma posición la salida es positiva. Si no, la salida de voltaje es negativa.

Inductancia mutua

Figura 2: Convención del punto.

Para el caso que los puntos estén en la misma posición.

    \[ v_2(t)=+M\frac{di_1(t)}{dt} \]

La ecuación, pasa a negativo, si los puntos están en posiciones distintas.

    \[ v_2(t)=-M\frac{di_1(t)}{dt} \]

Inductancia mutua en un circuito con carga

Al considerar, que la segunda malla tenga una carga, es importante considerar el valor del inductor en la misma. En este caso la corriente en la malla de la derecha ya no es cero. Ahora nuestro voltaje en la malla derecha, tiene un elemento extra. La ecuación, nos queda de la siguiente manera.

    \[ v_2(t)=L_2\frac{di_1(t)}{dt}{\pm}M\frac{di_1(t)}{dt} \]

Ejemplo de circuito con inductancia mutua

Vamos a considerar un ejemplo sencillo donde se implemente la inductancia mutua. Revisemos el siguiente circuito que tiene básicamente una resistencia en cada malla, además de los inductores. Podemos ver que tiene una señal de tipo senoidal a la entrada. Por lo tanto, deducimos que si se tiene un valor de corriente generado en la malla derecha. Este valor de corriente es diferente de cero. El ejemplo define ya un valor fijo de M. El objetivo seria determinar el valor de las corrientes para este circuito.

Inductancia mutua

Figura 3: Inductancia mutua en un circuito con carga. Con valores.

Primero que nada, tenemos que analizar el circuito. Tenemos que:

    \[ R_1=10\Omega \]

    \[ R_2=1K\Omega \]

    \[ L_1=10 mH \]

    \[ L_1=100 mH \]

    \[ M=1 H \]

    \[ V=10 sin(10t+0^\circ) V \]

Consideremos analizar el sistema con los componentes como impedancias. Para esto convertimos el valor de los inductores (e inductancia mutua) en reactancias inductivas. Para esto tenemos que determinar primero la frecuencia angular de nuestro sistema. Recordemos que la función senoidal esta definida por:

    \[ x(t)=Asin(2{\pi}ft+{\theta}) \]

En donde

    \[ {\omega}=2{\pi}f \]

Que es la frecuencia angular.
Ya con el valor de la frecuencia angular, podemos determinar las reactancias inductivas de los componentes con la siguiente expresión (recordemos que para el capacitor es similar).

    \[ X_L=j\omega L=j2\pi f L \]

Entonces, tenemos que los valores como impedancia en complejo nos queda como:

    \[ {\omega}=10 rad/s \]

    \[ {\theta}=0^\circ \]

    \[ X_{L1}=j\omega L_1=(10 rad/s)(10 mH) = j0.1  \Omega \]

    \[ X_{L2}=j\omega L_2=(10 rad/s)(100 mH) = j1  \Omega \]

    \[ X_M=j\omega M=(10 rad/s)(1 H) = j10  \Omega \]

Lo que nos quedaría de la siguiente manera.

Inductancia mutua

Figura 5: Circuito con valores complejos.

Circuito que podemos resolver de manera directa con KVL (ley de voltaje de Kirchhoff).

Solución de sistema por KVL

Procedemos a escribir las ecuaciones mediante mallas para determinar las corrientes del circuito. Para esto la única consideración es que la manera en la que interactua una corriente con la malla adyacente es a través de la inductancia mutua M. Primero pasamos a complejo el valor de la fuente, para que sea consitente en nuestro sistema de ecuaciones.

    \[ 10\angle 0^\circ = 10+j0\]

Lo que hace que nos queden las ecuaciones de la siguiente manera.

    \[ 10+j0 = I_1(10\Omega + j0.1\Omega)-I_2(j10\Omega)\]

    \[ 0 = -I_1(j10\Omega)+I_2(1K\Omega+j1\Omega)\]

Para resolver este sistema, podemos hacer uso de algun programa computacional como MatLab o alguna pagina de soporte, como Worlfram. En este caso ponemos el código de ejemplo de MatLab para la solución de un sistema de ecuaciónes de dos incognitas. El resultado es:

    \[ I_1= 0.99005\angle 0.56670^\circ  A\]

    \[ I_2= 0.0099005\angle 89.376^\circ  A\]

 

Código de MATLAB para el sistema de ecuaciones

 

 

ATENCIÓN

Te recordamos visitar nuestros tutoriales relacionados con las resistencias como, LM317, JFET vs MOSFET, Amplificador de Instrumentación, puente de wheatstone.

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Autor: Dr: Hector Hugo Torres Ortega

 

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