Transformada de Laplace

La transformada de Laplace, realiza una conversión de una función con una variable real, usualmente tiempo, a una función con una variable compleja, frecuencia compleja. En un caso particular se define como una transformada en el dominio de la frecuencia para sistemas continuos en tiempo. Específicamente, en el análisis de circuitos, se considera un tiempo mayor o igual a cero. Esto debido a que las funciones aplicadas a circuitos no existen con antelación. Por lo tanto podemos comenzar con que la transformada de Laplace (uni-lateral) aplicada a circuitos se define por la siguiente integral.

$F(s)= \int_{0^-}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$

Ten en cuenta, que para circuitos usamos la función unilateral, si deseas puedes tomar de menos infinito a infinito para la integral para pasar a su forma completa. Pero ¿Como seria determinar transformadas de Laplace? y ¿Existen formulas definidas para funciones recurrentes? Vamos a revisar a detalle, estas dos preguntas.

Transformadas de Laplace de funciones por integral

A continuación, vamos a describir algunas de las funciones básicas y trataremos de detallar cual es el resultado de la transformada de Laplace.

Función impulso unitario

La función impulso o delta, esta definida como un impulso de amplitud infinita y con un tiempo en alto de cero. Sin embargo, el área de la misma es de uno, por lo tanto, considerando en este caso dicha función. Tenemos la siguiente expresión, en donde el valor de Delta t es infinitesimal-mente pequeño y t0 el tiempo en el que la función ocurre:

$F(s)=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} \delta(t-t_0)dt$

Considerando que la función delta, pasa a ser parte de los limites de la integral. Esto debido a que esta multiplicando a la función exponencial. Tenemos la siguiente definición en donde la expresión no es cero, solo en el tiempo t0.

$F(s)=\int_{t_0-\Delta t}^{t_0+\Delta t} e^{-st} dt = e^{-st_0}$

Cabe señalar que para el caso en el que el t0 sea igual a cero, la transformada de Laplace de la función impulso es igual a uno.

Función escalón unitario

Para el caso de la función escalón unitario tenemos la siguiente expresión.

$F(s)=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} u(t)dt$

En este caso particular, como la función impulso vale cero antes del tiempo cero, entonces no se toma en cuenta. Cabe señalar que, este efecto ya estaba también considerado en la integral por lo tanto nos queda igual antes de resolver, por lo tanto.

$F(s)=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} dt = -\frac{1}{s}e^{-st}\Big|_{0^-}^{\infty}=-\frac{1}{s}e^{-s\infty} + \frac{1}{s}e^{-s0} = \frac{1}{s}$

Función exponencial

Para la función exponencial, tenemos solamente que reagrupar por exponentes. Esto debido a que tenemos la misma base. Por lo tanto nos queda de la siguiente manera. (Se omiten los pasos de la evaluación de la integral, pero notar que aplican igual que para el escalón unitario).

$F(s)=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} e^{-\alpha t} dt = -\frac{1}{s}e^{-(s+\alpha)t}\Big|_{0^-}^{\infty}= \frac{1}{s+\alpha}$

Función rampa

Para la función rampa, cabe señalar que si observan, la integral se tiene que realizar por partes. En este caso tenemos la siguiente expresión para la función integral de transformada de Laplace y a continuación la formula para integrar por partes.

$F(s)= \int_{0^-}^{\infty} te^{-st} dt$

$\int udv= uv- \int vdu$

En este caso, tenemos que seleccionar u y v para expandir la integral. Toma en cuenta que uno de los términos es exponencial, entonces no podemos tomar u como el termino exponencial por que la integral por partes nos daría de nuevo otra integral por partes. Por lo tanto, tomamos u como el termino t. Comenzamos con la selección de los términos.

$u = t$

$dv = e^{-st}$

Por lo tanto:

$du =1$

$v = -\frac{1}{-s} e^{-st}$

Sustituyendo, nos queda:

$F(s)= \int_{0^-}^{\infty} te^{-st} dt = -t \frac{1}{s} e^{-st}- \int_{0^-}^{\infty} -\frac{1}{s} e^{-st}(1) = -\frac{t}{s} e^{-st}-\left(-\frac{1}{s} \int_{0^-}^{\infty} e^{-st}\right)$

La cual ya se puede resolver, por lo tanto, tenemos que:

$F(s)= -\frac{t}{s} e^{-st}-\left(-\frac{1}{s} \int_{0^-}^{\infty} e^{-st}\right) =-\frac{t}{s} e^{-st}-\left(\frac{1}{s^2} e^{-st}\right)\Big|_{0^-}^{\infty}$

$F(s)= \left(-\frac{\infty}{s} e^{-s\infty}-\left(\frac{1}{s^2} e^{-s\infty}\right)\right)-\left(-\frac{0}{s} e^{-s0}-\left(\frac{1}{s^2} e^{-s0}\right)\right)$

$F(s)=\frac{1}{s^2}$

Función rampa con exponencial

Para este caso consideramos el mismo análisis realizado de la rampa, en donde además tenemos el comportamiento exponencial. En la parte exponencial se simplifica con la suma del valor de alfa. Entonces sin resolver de manera detallada podemos determinar lo siguiente:

$F(s)= \int_{0^-}^{\infty} te^{-st}e^{-\alpha t} dt =\frac{1}{(s+\alpha)^2}$

Formulas de funciones básicas

A continuación, vemos a manera de formulario, las formulas recien obtenidas. Para esto, cabe señalar, que no son las únicas formulas o funciones que se pueden trabajar. Es por esto, que un formulario más completo, podría ser razón de otro tutorial, por el momento los dejamos con las formulas basicas.

$\mathcal{L}\Big\{\delta(t-t_0)\Big\} = e^{-st_0}$

$\mathcal{L}\Big\{u(t)\Big\} = \frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\Big\{e^{-\alpha t}\Big\} = \frac{1}{s+\alpha}$

$\mathcal{L}\Big\{t\Big\} = \frac{1}{s^2}$

$\mathcal{L}\Big\{te^{-\alpha t}\Big\} = \frac{1}{(s+\alpha)^2}$

Codigo de Matlab

A continuación presentamos el código de Matlab para graficar la figuras previas. OJO el código no obtiene la transformada, solo gráfica la función.

ATENCIÓN

Finalmente, te recordamos visitar nuestros tutoriales relacionados con la transformada de Laplace y la electrónica como, Transformador, Arduino ATOI, Arduino Round, QT, Amplificador de Instrumentación, Op-Amp, puente de wheatstone, MOSFET, PCB, CNY70 y más.

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