Frecuencia Compleja con aplicación a circuitos RLC

Frecuencia compleja

El termino de frecuencia compleja, nace como nuevo concepto que nos permite trabajar con señales periódicas y no periódicas de manera simultanea. Ideal (en este caso) para el análisis de circuitos electrónicos. Comenzamos el análisis, considerando una señal senoidal exponencialmente amortiguada. Esta señal se dice «compleja» ya que tiene cantidades reales e imaginarias en termino de las frecuencias. Vamos a tener el termino real en la parte exponencial. La encargada del amortiguamiento. Y parte compleja en la parte senoidal (recordemos la identidad de Euller para sumas de exponenciales complejas). La expresión fundamental es la siguiente:

    \[ v(t)=Ve^{\sigma t}cos(\omega t + \theta) \]

Que graficada, al mismo tiempo, la podemos observar de la siguiente manera, para el valor de sigma menor a cero o negativo.

Frecuencia compleja

Figura 1: Señal senoidal exponencialmente amortiguada.

 

Notar también que esta señal es compuesta por 3 casos, DC, senoidal y exponencial. Ajustando en partocular ciertos valores de nuestra expresión fundamental referente a frecuencia compleja, podemos representar dichos casos. Aquí, por ejemplo, podemos determinar que partiendo de la ecuación en su forma puramente senoidal y comparándola con la ecuación puramente exponencial. Suponiendo dejando sigma igual a cero y dejando omega igual a cero para cada caso respectivamente. Además reescribiendo la senoidal como su forma exponencial. Podemos concluir que lucen similares. La diferencia es que el termino que proviene de la parte senoidal es complejo.

    \[ v(t)=Ve^{\sigma t} \]

    \[ v(t)=Ve^{j \omega t} \]

Frecuencia compleja en su forma general

En primer lugar, para pasar la función a su forma general, partimos con la idea de que la misma tienen que tener la siguiente estructura. En donde K tiene la información de amplitud y fase y s la información de la frecuencia compleja (real e imaginaria). De hecho, es común realizar este proceso para los casos de DC, exponenical, senoidal antes de la senoidal exponencialmente amortiguada. En este caso, por consiguiente, nos vamos a ajustar solo al último caso. Invitamos al lector a que desarrolle los otros tres. Comenzamos entonces separando el coseno con la identidad de Euller.

    \[ v(t)=Ke^{s t} \]

    \[ v(t)=Ve^{\sigma t}cos(\omega t + \theta) \]

Con Euler tenemos que:

    \[ cos(\omega t + \theta) = \frac{e^{j(\omega t+\theta)}+e^{-j(\omega t+\theta)}}{2} \]

Sustituyendo en la expresión fundamental:

    \[ v(t)= \frac{Ve^{\sigma t} e^{j(\omega t+\theta)}+Ve^{\sigma t} e^{-j(\omega t+\theta)}}{2} \]

Reagrupando por leyes de exponentes (recordemos que fase y amplitud tienen que estar separados de la frecuencia):

    \[ v(t)= \frac{Ve^{\sigma t} e^{j\omega t}e^{\theta}+Ve^{\sigma t} e^{-j\omega t}e^{-\theta}}{2} \]

Juntando las frecuencias:

    \[ v(t)= \frac{Ve^{\theta}e^{(\sigma+j\omega)t} +Ve^{-\theta}e^{(\sigma-j\omega)t}}{2} \]

Separando la fracción:

    \[ v(t)= \frac{V}{2}e^{\theta}e^{(\sigma+j\omega)t} +\frac{V}{2}e^{-\theta}e^{(\sigma-j\omega)t} \]

Generando complejo conjugado:

    \[ v(t)= \frac{V}{2}e^{\pm \theta}e^{(\sigma\pm j\omega)t}  \]

En donde podemos concluir, para la formula general, que tenemos los términos K y s, en donde s es el termino conocido como la frecuencia compleja y K como la constante compleja.

    \[ K=\frac{V}{2}e^{\pm \theta} \]

    \[ s = \sigma\pm j\omega \]

En función a que K y s son complejos conjugados (+j y -j) podemos determinar la solución de nuestros sistemas solamente con uno de ellos. Por esta razón que comúnmente solo se toma uno para el desarrollo de aplicaciones con frecuencia compleja. Cabe señalar, al mismo tiempo, que es importante relacionar los términos sigma y omega con funciones temporales.

Terminos de frecuencia

Ten en cuenta que comúnmente se suelen confundir los términos de la frecuencia, de acuerdo el libro de W. Hayt de Engineering Circuit Analysis los términos a considerar nombrar son:

Frecuencia compleja

    \[ s \]

Derivado de la parte exponencial. Frecuencia neperiana

    \[ \sigma \]

Frecuencia angular

    \[ \omega \]

Convencionalmente, la frecuencia cíclica

    \[ f \]

Ejemplo de frecuencia compleja

Una de las ventajas principales al usar la frecuencia compleja es la independencia de la frecuencia con la amplitud y fase en nuestro sistema. Esto es, que es posible operar «sin considerar» el termino de frecuencia. Sabemos que un circuito de componentes pasivos (RLC) siempre va a tener la misma frecuencia de salida que la de entrada. Puede cambiar fase o amplitud, pero no frecuencia. Por ejemplo, tenemos el circuito clásico RLC. Primeramente consideremos que le vamos a suministrar un voltaje con nuestra entrada de la siguiente función.

frecuencia compleja

Figura 2: Ejemplo de frecuencia compleja aplicado a un circuito RLC.

    \[ v(t)=20e^{-8 t}cos(2t + 10^\circ) V \]

Por lo tanto, tenemos que determinar la corriente de el circuito. Aquí cabe señalar que la misma va a tener un comportamiento similar, específicamente podemos decir que el termino de frecuencia compleja s no va a cambiar. Solo va a cambiar el termino de K. Por lo tanto podemos reescribir, de manera anticipada el comportamiento de la salida.

    \[ i(t)=I_xe^{-8 t}cos(2t + \phi) A \]

En donde las únicas incógnitas son Ix y phi. En primer lugar, lo que tenemos que hacer extraer los valores de las constantes complejas de nuestra función. Tenemos que para la señal de voltaje de entrada:

    \[ K=20\angle 10^\circ V \]

    \[s=-8+j2 \]

Aplicando Ley de Voltaje de Kirchhoff

Recordar que el termino de frecuencia compleja s es complejo conjugado, de esta manera, tenemos parte positiva y negativa. Para fines prácticos solo tomaremos la parte positiva. Ya con el termino de la fuente de voltaje como frecuencia compleja en resumen, podemos realizar la ecuación (En este caso evitamos realizar una ecuación integro-diferencial). La ecuación nos queda en términos de frecuencia compleja.

    \[ 20\angle 10^\circ e^{st} = 10Ie^{st}+2sIe^{st}+ \frac{10}{s}Ie^{st} \]

Eliminando el factor común nos queda:

    \[ 20\angle 10^\circ  = 10I+2sI+ \frac{10}{s}I \]

Despejando para la corriente, tenemos:

    \[I=\frac{20\angle 10^\circ}{10+2s+ \frac{10}{s}} \]

Sustituyendo el valor de s para la ecuación, tenemos que:

    \[I=\frac{20\angle 10^\circ}{10+2(-8+j2)+ \frac{10}{-8+j2}} \]

Recordemos además que para simplificar esta expresión, tenemos que recordar como es que se operan números polares y rectangulares. Para las operaciones de multiplicación con polares, las magnitudes se multiplican y las fases se suman. Por otro lado, la división con polares, las magnitudes se dividen y las fases se restan. En cuanto a sumas o restas con rectangulares se opera real con real e imaginario con imaginario. Finalmente, el resultado nos queda:

    \[I=-1.969-j1.5=2.48\angle 217.30^\circ A} \]

A fin de cuentas, sustituyendo los valores en la función de salida de corriente, tenemos que el resultado es:

    \[ i(t)=2.48e^{-8 t}cos(2t + 217.30^\circ) A \]

En resumen, la teoría de frecuencia compleja es de vital importancia para el análisis de circuitos, en particular, teoría de control, filtros y muchas aplicaciones más dentro del área de la electrónica.

Código para graficar la función de entrada

ATENCIÓN

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